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题目
二分法求函数根的原理为：如果连续函数
f ( x ) f(x) 在区间
[ a , b ] [a,b] 的两个端点取值异号，即
f ( a ) f ( b ) < 0 f(a)f(b)<0
，则它在这个区间内至少存在
1 1 个根
r r ，即
f ( r ) = 0 f(r)=0 。
二分法的步骤为：
- 检查区间长度，如果小于给定阈值，则停止，输出区间中点 ( a + b ) / 2 (a+b)/2 ；否则
- 如果 f ( a ) f ( b ) < 0 f(a)f(b)<0 ，则计算中点的值 f ( ( a + b ) / 2 ) f((a+b)/2) ；
- 如果 f ( ( a + b ) / 2 ) f((a+b)/2) 正好为 0 0 ，则 ( a + b ) / 2 (a+b)/2 就是要求的根；否则
- 如果 f ( ( a + b ) / 2 ) f((a+b)/2) 与 f ( a ) f(a) 同号，则说明根在区间 [ ( a + b ) / 2 , b ] [(a+b)/2,b] ，令 a = ( a + b ) / 2 a=(a+b)/2 ，重复循环；
- 如果 f ( ( a + b ) / 2 ) f((a+b)/2) 与 f ( b ) f(b) 同号，则说明根在区间 [ a , ( a + b ) / 2 ] a,(a+b)/2] ，令 b = ( a + b ) / 2 b=(a+b)/2 ，重复循环。
本题目要求编写程序，计算给定 3 3 阶多项式 f ( x ) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 ，在给定区间 [ a , b ] [a,b] 内的根。
输入格式
输入在第 1 1 行中顺序给出多项式的 4 4 个系数 a 3 、 a 2 、 a 1 、 a 0 a_3、a_2、a_1、a_0 ，在第 2 2 行中顺序给出区间端点 a a 和 b b 。题目保证多项式在给定区间内存在唯一单根。
输出格式
在一行中输出该多项式在该区间内的根，精确到小数点后 2 2 位。
输入样例
3 -1 -3 1
-0.5 0.5
输出样例
0.33
题解
解题思路
先输入多项式的 4 4 个系数，然后输入区间 a 、 b a、b 。然后 w h i l e while 循环判断 a 、 b a、b 是否相同且异号，如果不成立则说明在该区间内没有根；如果成立则继续判断 f ( ( a + b ) / 2 ) f((a+b)/2) 是否等于 0 0 ，如果等于则直接输出答案；如果不等于则判断 f ( ( a + b ) / 2 ) f((a+b)/2) 与 f ( a ) f(a) 或者 f ( b ) f(b) 中一个同号，根据不同情况对区间进行缩小，直到算出答案或者判断出在该区间内没有根即可。
完整代码
#include <math.h>
#include<iostream>
using namespace std;
double a, b, c, d;
double f(double A) // 计算多项式的值
{
return a * pow(A, 3) + b * pow(A, 2) + c * A + d;
}
int main(void)
{
double A, B;
cout << "请输入多项式的 4 个系数："; // 提交时注释此行
cin >> a >> b >> c >> d;
cout << "请输入区间端点："; // 提交时注释此行
cin >> A >> B;
while ((B - A) > 0.0001 && f(A) * f(B) <= 0) // 判断是否异号和相等,等于0是区间端点
{
if (f((A + B) / 2) == 0)
{
cout.precision(2);
cout << fixed << (A + B) / 2 << endl;
return 0;
}
else if (f((A + B) / 2)*f(A) > 0) // 和 f（A）同号
A = (A + B) / 2;
else // 和 f（B）同号：f((A + B) / 2) * f(B) > 0
B = (A + B) / 2;
}
cout.precision(2); // 控制小数点位输出
cout << fixed << (A + B) / 2 << endl;
return 0;
}